Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen

Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
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Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit \alpha(\alpha \le 90°)und zwei mit 180°-\alpha. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn  \vec u und \vec v Richtungsvektoren sind, kann man den Schnittwinkel \alpha mit der folgenden Formel berechnen: cos(\alpha)= \dfrac{|\vec u \circ \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|} Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet.

Gerade gerade.gif

Beispielaufgabe: Gegeben:

g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}
h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}

Gesucht: Schnittwinkel \alpha

 cos \alpha = \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}
Schnittwinkel \alpha= 70,9°



Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel \alpha zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel \alpha wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren \vec n_1  und \vec n_2 der Ebene gleich ist.

cos(\alpha)= \dfrac{| \vec n_1 \circ \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}

Ebene ebne.gif

Beispielaufgabe: Geg.:

E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12

E_{2}:\left[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0

Ges.: Schnittwinkel \alpha

cos(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}}

Schnittwinkel \alpha= 42,4°



Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.Der Winkel der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel \alpha der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel \beta zwischen dem Normalenvektor \vec n der Ebene E und dem Richtungsvektor \vec u der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel \alpha zu 90°. sin(\alpha)= \dfrac{|\vec u \circ \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|} Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen.

Gerade ebene 2.gif

Beispielaufgabe: Geg.:
g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}

E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12

Ges.: Schnittwinkel \alpha

sin(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}

Schnittwinkel \alpha= 19,1°



Abstand zwischen windschiefen Geraden

Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden g:{\vec x}={\vec p}+s \cdot {\vec u} bzw. h:{\vec x}={\vec q}+t \cdot {\vec v} sind, dann gilt: (1) {\overrightarrow {GH}} \circ {\vec u}=0 und (2) {\overrightarrow {GH}} \circ {\vec v}=0, dann ist {|\overrightarrow {GH}|} der Abstand der beiden Geraden g und h.