Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

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Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>.
 
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>.
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Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math>  
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Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u \circ \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}</math>  
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Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet.
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Beispielaufgabe:  
 
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<math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br />
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<math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br />
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<math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math>
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Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br />
 
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<math> cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math><br />
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<math> cos \alpha = \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}</math><br />
 
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9°
 
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9°
  
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'''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen'''
 
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Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n1</math>  und <math>\vec n2</math> der Ebene gleich ist.
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Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n_1</math>  und <math>\vec n_2</math> der Ebene gleich ist.
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cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}</math>
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Beispielaufgabe:
 
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Geg.: <math>E_{1}</math>: <math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12
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      <math>E_{2}</math>: <math>[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}</math>=0
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Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math>
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<math>E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 </math>
  
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<math>E_{2}:\left[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0 </math>
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Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br />
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<math>cos(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}}</math>
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Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4°   
  
  
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Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°.
 
Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°.
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sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}</math>
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sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u \circ \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}</math>
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Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen.
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Beispielaufgabe:
 
Beispielaufgabe:
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Geg.: <math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math>
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Geg.:<br />
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      <math>E_{1}</math>:<math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12
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<math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math>
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<math>E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 </math>
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Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br />
  
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Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math>
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<math>sin(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}</math>
  
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      sin(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}</math> = <math>\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math>  Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1°
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Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1°
  
  
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Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h.
 
Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h.
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Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}</math>=<math>{\vec p}</math>+s*<math>{\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}</math>=<math>{\vec q}</math>+t*<math>{\vec v}</math> sind, dann gilt:
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Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}={\vec p}+s \cdot {\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}={\vec q}+t \cdot {\vec v}</math> sind, dann gilt:
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<math>(1){\vec GH}*{\vec u}=0</math> und  
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(1) <math>{\overrightarrow {GH}} \circ {\vec u}=0</math> und  
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<math>(2){\vec GH}*{\vec v}=0</math>,
+
(2) <math>{\overrightarrow {GH}} \circ {\vec v}=0</math>,
−
dann ist <math>{|\vec GH|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h.
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dann ist <math>{|\overrightarrow {GH}|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h.

Aktuelle Version vom 19. Februar 2017, 21:10 Uhr

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit \alpha(\alpha \le 90°)und zwei mit 180°-\alpha. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn \vec u und \vec v Richtungsvektoren sind, kann man den Schnittwinkel \alpha mit der folgenden Formel berechnen: cos(\alpha)= \dfrac{|\vec u \circ \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|} Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet.

Gerade gerade.gif

Beispielaufgabe: Gegeben:

g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}
h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}

Gesucht: Schnittwinkel \alpha

cos \alpha = \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}
Schnittwinkel \alpha= 70,9°



Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel \alpha zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel \alpha wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren \vec n_1  und \vec n_2 der Ebene gleich ist.

cos(\alpha)= \dfrac{| \vec n_1 \circ \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}

Ebene ebne.gif

Beispielaufgabe: Geg.:

E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12

E_{2}:\left[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0

Ges.: Schnittwinkel \alpha

cos(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}}

Schnittwinkel \alpha= 42,4°



Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.Der Winkel der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel \alpha der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel \beta zwischen dem Normalenvektor \vec n der Ebene E und dem Richtungsvektor \vec u der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel \alpha zu 90°. sin(\alpha)= \dfrac{|\vec u \circ \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|} Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen.

Gerade ebene 2.gif

Beispielaufgabe: Geg.:
g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}

E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12

Ges.: Schnittwinkel \alpha

sin(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}

Schnittwinkel \alpha= 19,1°



Abstand zwischen windschiefen Geraden

Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden g:{\vec x}={\vec p}+s \cdot {\vec u} bzw. h:{\vec x}={\vec q}+t \cdot {\vec v} sind, dann gilt: (1) {\overrightarrow {GH}} \circ {\vec u}=0 und (2) {\overrightarrow {GH}} \circ {\vec v}=0, dann ist {|\overrightarrow {GH}|} der Abstand der beiden Geraden g und h.

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