Exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet.<br /> | + | Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br /> |
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Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). | Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante). | ||
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<math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> | <math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br /> | ||
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Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> | Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br /> | ||
| − | Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden. | + | Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> |
| + | ==Aufgaben== | ||
| + | {{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br /> | ||
| + | 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differentialgleichung an!<br /> | ||
| + | <popup name="Lösung"> | ||
| + | <math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math> | ||
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| + | 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br /> | ||
| + | <popup name="Lösung"> | ||
| + | <math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br /> | ||
| + | <math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br /> | ||
| + | Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. | ||
| + | </popup> | ||
| + | 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? | ||
| + | <popup name="Lösung"> | ||
| + | <math>{3=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|/2}</math><br /> | ||
| + | <math>{3/2=e^{0,1 \cdot x}|ln}</math> <br /> | ||
| + | <math>{ln(3/2)=0,1 \cdot x|/0,1}</math> <br /> | ||
| + | <math>{\tfrac{ln(3/2)}{0,1}=x}</math> <br /> | ||
| + | <math>{4,06 \approx x}</math><br /><br /> | ||
| + | Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel. | ||
| + | </popup> | ||
| + | }}<br /> | ||
Version vom 2. September 2018, 18:19 Uhr
Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.
Inhaltsverzeichnis |
Funktionsgleichung
Funktionsterm
Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
Im Funktionstern steht 
für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt 
.
steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.
Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.
Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).
Differentialgleichung
Die dazugehörige Differentialgleichung lautet:
Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
Bis auf die Wachstumskonstante ist die Ableitungsfunktion 
identisch mit der Ausgangsfunktion 
, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
Beispiel
Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die wachstumskonstante lautet 
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion
(x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.
Aufgaben
30px Aufgabe
Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel? 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? |
(t in Jahren) beschrieben werden.
