Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand.

Das bedeutet, dass die Änderungsrate entsprechend dem Bestand steigt, also umso größer wird, je größer der Bestand wird.
Der Graph einer exponentiellen Wachstumsfunktion hat die Eigenschaft, sofern er nicht verschoben oder gespiegelt ist, die x-Achse niemals zu schneiden, sondern sich dieser im negativen Bereich nur anzunähern.

Funktionsterm

Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Dabei steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$.
Die Eurlerische Zahl ${e}$ erfüllt in dieser Schreibweise die Aufgabe des Wachstumsfaktors.

${k}$ ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der Scheibweise ohne ${e}$ in die Schreibweise mit ${e}$ als Basis von Bedeutung ist.

Verschiedene Schreibweisen

Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder mit ${e}$ als Basis, oder ohne ${e}$.

Die allgemeine Form für die Schreibweise ohne ${e}$ lautet:
${f(x)=a \cdot b^{x}}$
Eine Wachstumsfunktion in der Schreibweise ohne ${e}$ lässt sich leichter aufstellen, da man den Wachstumsfaktor ${b}$ aus einer gegebenen prozentualen Zunahme bilden kann. Dafür muss man die prozentuale Zunahme zu 1 addieren.
Ist die prozentuale Zunahme beispielsweise 25%, so beträgt ${b}$ folglich 1,25.

Die Schreibweise ohne ${e}$ kann relativ einfach in die Schreibweise mit ${e}$ als Basis umgewandelt werden. Mit ${e}$ lautet die allgemeine Formel:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$
Bei der Schreibweise ohne ${e}$ fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der Schreibweise mit ${e}$ nur die Wachstumskonstante ${k}$.
Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:

$\begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(b^x) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\ ln(b) &= k \end{align}$

Um eine Wachstumsgleichung, die in der Schreibweise ohne ${e}$ steht, in die Schreibweise mit ${e}$ umzuwandeln, muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit ${x}$ multiplizieren.
Man kann also auch einfach die Formel
${f(x)=a \cdot e^{ln(b) \cdot x}}$
anwenden.

Der Vorteil der Schreibweise mit ${e}$ als Basis ist, dass man exponentielle Wachstumsfunktion in dieser Schreibweise ableiten kann.

Beispiel

Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.
Schreibweise ohne e:
${f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}$

Schreibweise mit e:
1. Wachstumskonstante berechnen:

$\begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align}$

2. Funktionsgleichung aufstellen:
${f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}$

30px   Aufgabe Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%. Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!

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$\begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align}$

Anfangsbestand berechnen

Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.
Um ${a}$ auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.

$\begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align}$

Beispiel

Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante ${k=0,5}$ an der Stelle ${x=5,025}$ eine Höhe von ${y=37}$ hat.
$\begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align}$

30px   Aufgabe Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante ${k=0,2}$ an der Stelle ${x=2,03}$ eine Höhe von ${y=15}$ hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand ${a}$ !

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$\begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align}$

Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.

$\begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align}$

Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion
${f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}$

Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:

$\begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align}$

30px   Aufgabe Gegeben ist die Funktion ${f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}$ Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle ${x=10}$ !

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$\begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align}$

Übungsaufgabe

30px   Aufgabe Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen. a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung mit e an! b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind? c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein? d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?

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$\begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align}$

Lösung b) anzeigen

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$\begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align}$

Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben.

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$\begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align}$

Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto.

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$\begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align}$

Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto.