Definition und Winkel zwischen Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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<span style="color: red">''Welcher Winkel wird berechnet? Welche Bedingung muss erfüllt sein, um den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können? [Btm]''</span>
  
 
<math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot cos \alpha </math>
 
<math>\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot cos \alpha </math>

Version vom 24. Januar 2013, 07:37 Uhr

Winkelberechnung zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts

Vektoren:

allgemein:

\mathbb{R}^3 \qquad \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

am Beispiel:

\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \vec b = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}

Berechnung des Skalars:

allgemein:

\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = (a1 \cdot b1 + a2 \cdot b2 + a3 \cdot b3)

am Beispiel:

\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28

Formel zur Winkelberechnung:

Welcher Winkel wird berechnet? Welche Bedingung muss erfüllt sein, um den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können? [Btm]

\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot cos \alpha

cos \alpha = {\vec a \cdot \vec b \over \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|} \qquad (in Formelsammlung angegeben)

Errechnen von \left| \vec a \right| und \left| \vec b \right| anhand des Beispiels:

\left| \vec a \right| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

\left| \vec b \right| = \sqrt{6^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 25 + 16} = \sqrt{77}

Einsetzen der Zwischenergebnisse in die Formel:

cos \alpha = { 28 \over \sqrt{14} \cdot \sqrt{77}}

Errechnen mit Hilfe des GTRs:

cos \alpha = 0,85

\alpha = 31,8^\circ

Ausnahme:

Die Ausnahme gilt, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt. In diesem Fall weiß man, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren \alpha = 90^\circ ist.

(Die weiteren Schritte müssen nicht gemacht werden!)

Beispiel:

\vec a = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = (-3) \cdot 5 + 0 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) = 0

Skalarprodukt = 0 \rightarrow \alpha = 90^\circ


Aufgabe:

Berechne den Winkel \alpha zwischen den Vektoren \vec a = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} und \vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}

Berechnen des Skalarprodukts (für die Lösung "anzeigen" klicken)

Ausrechnen von \left| \vec a \right| und \left| \vec b \right| (für die Lösung "anzeigen" klicken)

Einsetzen in die Formel (für die Lösung "anzeigen" klicken)

Lösung (für die Lösung "anzeigen" klicken)




Quellen:

von Philipp Ballmann

Von „http://fsg.zum.de/index.php?title=Definition_und_Winkel_zwischen_Vektoren&oldid=966“