Exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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</popup>}}
 
</popup>}}
  
−
==Funktionsterm mit e==
+
==Anfangsbestand berechnen==
−
Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br />
+
Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.<br />
−
<math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br />
+
Um <math>{a}</math> auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.<br /><br />
−
Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br />
+
<math> \begin{align}
−
<math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br />
+
y &=a \cdot e^{k \cdot x} |:e^{k \cdot x} \\
−
[[Datei:Exponentielles Wachstum 3.png|rahmenlos|links]]
+
\frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a
−
[[Datei:Exponentielles Wachstum 2.png|rahmenlos|ohne]]<br />
+
\end{align} </math><br />
−
Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.
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<br /><br />
+
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[[Datei:Exponentielles Wachstum 1.png|rahmenlos|ohne]]<br />
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−
Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).
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===Differenzialgleichung===
+
===Beispiel===
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Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br />
+
Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,5}</math> an der Stelle <math>{x=5,025}</math> eine Höhe von <math>{y=37}</math> hat.<br />
−
<math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br />
+
<math> \begin{align}
−
Erklärung:<br />
+
a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\
−
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br />
+
a &=\frac{37}{12,336} \\
−
<math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}</math><br />
+
a &\approx 3
−
Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br />
+
\end{align} </math><br /><br />
−
<math>{f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}</math>
+
 
 +
{{Aufgabe|Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante <math>{k=0,2}</math> an der Stelle <math>{x=2,03}</math> eine Höhe von <math>{y=15}</math> hat.
 +
Bestimmen Sie den Anfangsbestand <math>{a}</math> !
 +
<popup name="Lösung">
 +
<math> \begin{align}
 +
a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\
 +
a &=\frac{15}{1,501} \\
 +
a &\approx 10
 +
\end{align} </math>
 +
</popup>}}
 +
 
 +
==Wachstumsgeschwindigkeit berechnen==
 +
Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.<br /><br />
 +
<math> \begin{align}
 +
f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\
 +
f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x}  
 +
\end{align} </math><br /><br />
 +
Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen.
  
 
===Beispiel===
 
===Beispiel===
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[[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]]
+
Gegeben ist die Funktion<br />
−
Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br />
+
<math>{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}</math><br /><br />
−
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
+
Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:<br /><br />
 +
<math> \begin{align}
 +
f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\
 +
f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x}
 +
\end{align} </math>
  
−
{{Aufgabe|Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion <math>{f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}</math> (t in Jahren) beschrieben werden.<br />
+
{{Aufgabe|Gegeben ist die Funktion<br />
−
1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an!<br />
+
<math>{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br />
 +
Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle <math>{x=10}</math> !<br />
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
−
<math>{f'(t)=0,1 \cdot f(x)}</math>
+
<math> \begin{align}
 +
f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\
 +
f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\
 +
\\
 +
f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\
 +
f'(10) &=24,1
 +
\end{align} </math>
 +
</popup>}}
 +
 
 +
==Übungsaufgabe==
 +
Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.<br />
 +
a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!
 +
<popup name="Lösung">
 +
<math> \begin{align}
 +
f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\
 +
f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x}
 +
\end{align} </math>
 
</popup>
 
</popup>
−
2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?<br />
+
b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
−
<math>{f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}</math><br />
+
<math> \begin{align}
−
<math>{f(1)\approx 2,21}</math><br /><br />
+
a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\
−
Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel.
+
a & \approx 100
 +
\end{align} </math><br /><br />
 +
Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben.
 
</popup>
 
</popup>
−
3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel?
+
c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
−
<math> \begin{align}  
+
<math> \begin{align}
−
3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|:2 \\
+
f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\
−
3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\
+
f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\
−
ln(3/2) &=0,1 \cdot x|:0,1 \\
+
f(10) & \approx 122
−
\tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\
+
\end{align} </math><br /> <br />
−
4,06 & \approx x
+
Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto.
−
\end{align}</math><br /><br />
+
−
Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel.
+
 
</popup>
 
</popup>
−
}}
+
d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?
 +
<popup name="Lösung">
 +
<math> \begin{align}
 +
150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} |:100 \\
 +
\frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} |logarithmieren \\
 +
ln(1,5) &= 0,02 \cdot x |: 0,02 \\
 +
\frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\
 +
20,273 & \approx x
 +
\end{align} </math><br /><br />
 +
Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto.

Version vom 3. Oktober 2018, 15:11 Uhr

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.
Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit {e} als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne {e}.

Inhaltsverzeichnis

Funktionsterm

Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:
{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}

Dabei steht {a} für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt {x=0}.
Die Eurlerische Zahl {e} ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.
{k} ist die sogenannte wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist.

Umwandlung der alten Schreibweise in die neue

Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:
{f(x)=a \cdot b^{x}}
Diese kann in eine Exponentialfunktion mit {e} umgewandelt werden. Mit {e} lautet die allgemeine Formel:
{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante {k}.
Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:

\begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} |logarithmieren \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x |:x \\ ln(b) &= k \end{align}

Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit {x} multiplizieren.


Beispiel

Alte Schreibweise.png

Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.
Alte Schreibweise:
{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}

Neue Schreibweise:
1. Wachstumskonstante berechnen:

\begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align}

Neue Schreibweise.png

2. Funktionsgleichung aufstellen:
{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}

30px   Aufgabe

Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.
Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!

Anfangsbestand berechnen

Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.
Um {a} auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.

\begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} |:e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align}

Beispiel

Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante {k=0,5} an der Stelle {x=5,025} eine Höhe von {y=37} hat.
\begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align}

30px   Aufgabe

Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante {k=0,2} an der Stelle {x=2,03} eine Höhe von {y=15} hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand {a} !

Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.

\begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align}

Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion
{f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}

Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:

\begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align}

30px   Aufgabe

Gegeben ist die Funktion
{f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}
Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle {x=10} !

Übungsaufgabe

Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.
a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!

b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?

c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?

d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?

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