Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 25. September 2012, 11:57 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können:

  • beide Ebenen in Koordinatengleichung,
  • beide Ebenen in Parameterform,
  • eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung.

Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.

Beide Ebenen in Koordinatengleichuing gegeben

30px   Aufgabe

Welche der Ebenen E1, E2, E3, E4 sind zueinander parallel?

E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4

E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4

E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1

E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4

Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E1 und E3), sonst sind sie identisch (Ebenen E1 und E4). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E2 mit allen anderen Ebenen).

\vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) , \vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right) , \vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) , \vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) .

-2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3, aber -2 \cdot 4 \neq 1

-1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4, aber -1 \cdot 4 = -4


Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet.

30px   Aufgabe

Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.

Lösung: <graphviz> digraph G { "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "JA"; "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "NEIN"; "JA" -> "Ebenengleichungen identisch?"; "NEIN" -> "Ebenen schneiden sich"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "JA - Ebenen sind identisch"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "NEIN - Ebenen sind parallel"; }

</graphviz>
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