Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. September 2016, 17:57 Uhr

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Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit: Gerade und Ebene schneiden sich

2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen parallel

3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind identisch

Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.

Vorgehen

Parameterform

E: x = S_E + tR_1E + sR_2E
g: x = S_g + tR_g

1. Überprüfung "parallel":

→ Skalarprodukt ausrechnen
n * R_g = 0

Anmerkung: Normalenvektor: n = R_1E x R_2E; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene

wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein
wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt

2. Überprüfen "identisch":

→ einfaches LGS erstellen
S_E + tR_1E + rR_2E = S_g
gibt es eine Lösung?
wenn ja, E und g sind identisch.

wenn nein, E und g sind parallel.
→ ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses
S_E + tR_1E + sR_2E = S_g + u * R_S

Anmerkung: Löse nach u auf

→ setze u in die Gerade g ein

Koordinatenform

E: x = u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ = b
g: x = S_g + tR_g

1. Gerade g in Ebene E einsetzen:

Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen
{n \choose k }