Die Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen. <br \>
 
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# Ergebnis gleich Null setzen
 
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Beispiel mit <math>f(x)=x^2</math> und <math>\int_1^x</math>:
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Version vom 5. Juni 2018, 18:01 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1. Was ist eine Integralfunktion?

Um verstehen zu können, was eine Integralfunktion ist, muss man wissen, was ein Integral ist und wie man eine Stammfunktion bildet.
Die Integralfunktion sieht so aus: {I_a}(x)= \int_a^x f(x)dx
Der Unterschied von einer Integralfunktion zu einem Integral ist, dass man bei einer Integralfunktion,
wie der Name es schon sagt, eine Funktion erhält, da man eine unbestimmte Grenze "x" in die Funktion einsetzt und integriert.
Die Integralfunktion ist somit eine Funktion, die den Flächeninhalt zwischen den Funktion f und der X-Achse zwischen der bestimmten Grenze "a" und der unbestimmten Grenze "x" angibt.
Die einzelnen Punkte der Integralfunktion setzen sich aus den Flächeninhaltswerten der möglichen rechten Grenzen zusammen.
Ein Tipp beim Bilden einer Integralfunktion ist, dass man die Funktion, die Integriert werden soll, als f(t) angibt, da die unbestimmte Grenze in der Integralfunktion bereits ein "x" enthält:
f(x)= x^2

\int_a^x f(x)dx

\int_a^x f(t)dt = \int_a^x t^2dt


2. Wie erhält man die Integralfunktion?


Gegeben sei eine Funktion f(x) und eine feste untere Grenze "a"

  1. Funktion f(x) integrieren (die Stammfunktion bilden)
  2. Integral aufstellen \int_a^x f(t)dt
  3. Stammfunktion in das Integral einsetzen
  4. Die Grenzwerte in die Stammfunktion einsetzen
  5. Erhaltene Gleichungen für die Grenzen "x" und "a" voneinander subtrahieren
  6. Man erhält die Integralfunktion


Beispiel mit der bestimmten Grenze a=1:

f(t) = t^2

\int_1^x f(t)dt

\int_1^x (t^2)dt

[\frac{1}{3}t^3]_1^x

(\frac{1}{3}t^3) – (\frac{1}{3}*1^3)

{I_1}(x)= \frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}


3. Ableitung einer Integralfunktion


Ein Merkmal einer Integralfunktion ist, dass die Integralfunktion abgeleitet die eingesetzte Funktion f(x) ist.
Um das Integral bilden zu können, muss man die Funktion integrieren.
Wenn man nun also die Ableitung des Integrals bilden möchte, bildet man die Ableitung der Stammfunktion.
Das ist die Ausgangsfunktion.


{I_a}(x) = \int_a^x f(t)dt

{I_a}(x) = F(x)-F(a)

{I_a}'(x) = F'(x)-0

{I_a}'(x)=f(x)


Beispiel mit f(t)=t^2

f(t)=t^2

F(t)=\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{3}

{I_1}(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}

{I_1}'(x)= (\frac{1}{3}x^3)'-(\frac{1}{3})'

{I_1}'(x)= x^2-0

4. Nullstelle einer Integralfunktion


Die Nullstelle einer Integralfunktion ist immer die untere Grenze.
Da eine Integralfunktion aus einer bestimmten und aus einer unbestimmten Grenze besteht, kann man die Nullstelle einer Integralfunktion sehr einfach bestimmen.
Dafür muss man die bestimmte Grenze gleich der unbestimmten Grenze setzen.
Dadurch erhält man keine Fläche und die Lösung Funktion ist immer 0.
Die Integralfunktion von "a" bis "a" hat die Fläche 0.
Dies bedeutet, die Integralfunktion hat bei Stelle "a" eine Nullstelle.

Beweis:

  1. Eine Funktion f(x) und das Intervall \int_a^x ist gegeben
  2. Stammfunktion bilden
  3. Einsetzen
  4. Ergebnis gleich Null setzen
  5. Ergebnis = a


Beispiel mit f(x)=x^2 und \int_1^x:

f(x)=x^2

F(x)=\frac{1}{3}x^3

\int_1^x=f(t)dt

\int_1^x=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}

0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}

0=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3} | + \frac{1}{3}

\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x^3 | * 3

1=x^3 | \sqrt[3]{}

1=x

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