Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit $\alpha$($\alpha$ $\le$ 90°)und zwei mit 180°-$\alpha$. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn $\vec u$ und $\vec v$ Richtungsvektoren sind, kann man den Schnittwinkel $\alpha$ mit der folgenden Formel berechnen: cos($\alpha$)= $\dfrac{|\vec u \circ \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$ Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet.

Beispielaufgabe: Gegeben:

$g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$
$h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$

Gesucht: Schnittwinkel $\alpha$

$cos \alpha = \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}$
Schnittwinkel $\alpha$= 70,9°

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel $\alpha$ wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren $\vec n_1$  und $\vec n_2$ der Ebene gleich ist.

$cos(\alpha)= \dfrac{| \vec n_1 \circ \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}$

Beispielaufgabe: Geg.:

$E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12$

$E_{2}:\left[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0$

Ges.: Schnittwinkel $\alpha$

$cos(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}}$

Schnittwinkel $\alpha$= 42,4°

Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.Der Winkel der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel $\alpha$ der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel $\beta$ zwischen dem Normalenvektor $\vec n$ der Ebene E und dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel $\alpha$ zu 90°. sin($\alpha$)= $\dfrac{|\vec u \circ \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}$ Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen.

Beispielaufgabe: Geg.:
$g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$

$E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12$

Ges.: Schnittwinkel $\alpha$

$sin(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}$

Schnittwinkel $\alpha$= 19,1°

Abstand zwischen windschiefen Geraden

Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden $g:{\vec x}={\vec p}+s \cdot {\vec u}$ bzw. $h:{\vec x}={\vec q}+t \cdot {\vec v}$ sind, dann gilt: (1) ${\overrightarrow {GH}} \circ {\vec u}=0$ und (2) ${\overrightarrow {GH}} \circ {\vec v}=0$, dann ist ${|\overrightarrow {GH}|}$ der Abstand der beiden Geraden g und h.