Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet.

Funktionsgleichung

Funktionsterm

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Im Funktionstern steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ .
${k}$ steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.

Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.

Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).

Differienzialgleichung

Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:
${f'(x)=k \cdot f(x)}$

Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
${f'(x)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot x}}$
Bis auf die Wachstumskonstante ${k}$ ist die Ableitungsfunktion ${f'(t)}$ identisch mit der Ausgangsfunktion ${f(t)}$, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
${f'(x)=k \cdot f(x)}$

Beispiel

Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die wachstumskonstante lautet ${k=0,3}$
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion
${f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}$
(x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.