Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.
Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit ${e}$ als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne ${e}$.

Funktionsterm

Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Dabei steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$.
Die Eurlerische Zahl ${e}$ ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.
${k}$ ist die sogenannte wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist.

Umwandlung der alten Schreibweise in die neue

Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:
${f(x)=a \cdot b^{x}}$
Diese kann in eine Exponentialfunktion mit ${e}$ umgewandelt werden. Mit ${e}$ lautet die allgemeine Formel:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante ${k}$.
Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:

$\begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} |logarithmieren \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x |:x \\ ln(b) &= k \end{align}$

Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit ${x}$ multiplizieren.

Beispiel

Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.
Alte Schreibweise:
${f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}$

Neue Schreibweise:
1. Wachstumskonstante berechnen:

$\begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align}$

2. Funktionsgleichung aufstellen:
${f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}$

30px   Aufgabe Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%. Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align}$

Funktionsterm mit e

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Im Funktionstern steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ .
${k}$ steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.

Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.

Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).

Differenzialgleichung

Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:
${f'(x)=k \cdot f(x)}$

Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
${f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}$
Bis auf die Wachstumskonstante ${k}$ ist die Ableitungsfunktion ${f'(t)}$ identisch mit der Ausgangsfunktion ${f(t)}$, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
${f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}$

Beispiel

Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet ${k=0,3}$
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion
${f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}$
(x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.

30px   Aufgabe Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion ${f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}$ (t in Jahren) beschrieben werden. 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an! Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f'(t)=0,1 \cdot f(x)}$ 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel? Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}$ ${f(1)\approx 2,21}$ Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} 3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|:2 \\ 3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\ ln(3/2) &=0,1 \cdot x|:0,1 \\ \tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\ 4,06 & \approx x \end{align}$ Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel.