Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene

Lernpfad Im Laufe dieses Lernpfades sollst du die Lage zweier Ebenen untersuchen können. Dieses Thema ist deshalb so komplex, da Ebenen in - vereinfacht - zwei Darstellungsformen gegeben sein können: beide Ebenen in Koordinatengleichung, beide Ebenen in Parameterform, eine Ebene in Parameterform, eine Ebene in Koordinatengleichung. Für jeden Punkt gibt es ein eigenes Kapitel. Du sollst aber wissen, dass man den zweiten und dritten Punkt immer auf den ersten zurückführen kann, indem eine/beide Ebene(n) in eine Koordinatengleichung umgewandelt werden. Wie das geht, ist in einem anderen Abschnitt beschrieben.

Beide Ebenen in Koordinatengleichung gegeben

30px   Aufgabe Welche der Ebenen E1, E2, E3, E4 sind zueinander parallel?

$E_1:3x_1 - 2x_2 +x_3 = 4$

$E_2:-x_1 + 2x_2 -3x_3 = 4$

$E_3:-6 x_1 + 4x_2 -2x_3 = 1$

$E_4:-3 x_1 + 2x_2 -x_3 = -4$

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Lösung: Es müssen die Normalenvektoren der Ebenen untersucht werden. Sind diese linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch. Sind jetzt die Ebenengleichungen keine Vielfache, dann sind die Ebenen parallel (Ebenen E₁ und E₃), sonst sind sie identisch (Ebenen E₁ und E₄). Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, schneiden sich die Ebenen (Ebene E₂ mit allen anderen Ebenen).

$\vec n_1= \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right)$, $\vec n_2= \left( \begin{matrix} -1\\2\\-3\end{matrix}\right)$, $\vec n_3= \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right)$, $\vec n_4= \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right)$.

$-2 \cdot \vec n_1= -2 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -6\\4\\-2\end{matrix}\right) = \vec n_3$, aber $-2 \cdot 4 \neq 1$

$-1 \cdot \vec n_1= -1 \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-2\\1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -3\\2\\-1\end{matrix}\right) = \vec n_4$, aber $-1 \cdot 4 = -4$

Somit lässt sich eine Vorgehensweise verallgemeinern, mit der man die Lage zweier Ebenen untersuchen kann, indem man die Normalenvektoren untersucht und eventuell noch die gesamte Gleichung betrachtet.

30px   Aufgabe Erstelle ein Baumdiagramm als Arbeitsanweisung zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind.

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Lösung: <graphviz> digraph G { "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "JA"; "Normalenvektoren linear abhängig?" -> "NEIN"; "JA" -> "Ebenengleichungen identisch?"; "NEIN" -> "Ebenen schneiden sich"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "JA - Ebenen sind identisch"; "Ebenengleichungen identisch?" -> "NEIN - Ebenen sind parallel"; }

</graphviz>

Übung Gegeben ist die Ebene E1: 3x1+2x2+x3=6. a) Bestimme die Lage der Ebene E2:9x1+42+x3=36 zur Ebene E1. b) Bestimme die Parameter a und b so, dass die Ebene E3:ax1-8x2-4x3=b parallel zu E1 ist.

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Lösung: