Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit $\alpha$($\alpha$ $\le$ 90°)und zwei mit 180°-$\alpha$. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn $\vec u$ und $\vec v$ Richtungsvektoren sind, kann man den Schnittwinkel $\alpha$ mit der folgenden Formel berechnen: cos($\alpha$)= $\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}$ Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet.

Beispielaufgabe: Gegeben:

$g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$
$h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$

Gesucht: Schnittwinkel $\alpha$

$cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}$
Schnittwinkel $\alpha$= 70,9°

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel $\alpha$ wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren $\vec n1$  und $\vec n2$ der Ebene gleich ist. cos($\alpha$)= $\dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}$

Beispielaufgabe: Geg.:

$E_{1}$: $2x_{1}+x_{2}-x_{3}$=12 $E_{2}$: $[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}$=0

Ges.: Schnittwinkel $\alpha$

cos($\alpha$)=$\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}}$ = $\dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}$ Schnittwinkel $\alpha$= 42,4°

Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.Der Winkel der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel $\alpha$ der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel $\beta$ zwischen dem Normalenvektor $\vec n$ der Ebene E und dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel $\alpha$ zu 90°. sin($\alpha$)= $\dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}$ Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen.

Beispielaufgabe: Geg.:
$g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$ $E_{1}$:$2x_{1}+x_{2}-x_{3}$=12

Ges.: Schnittwinkel $\alpha$

sin($\alpha$)=$\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}$ = $\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}$ Schnittwinkel $\alpha$= 19,1°

Abstand zwischen windschiefen Geraden

Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden $g:{\vec x}$=${\vec p}$+s*${\vec u}$ bzw. $h:{\vec x}$=${\vec q}$+t*${\vec v}$ sind, dann gilt: $(1){\vec GH}*{\vec u}=0$ und $(2){\vec GH}*{\vec v}=0$, dann ist ${|\vec GH|}$ der Abstand der beiden Geraden g und h.