Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.
Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit ${e}$ als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math{e}</math>.

Umwandlung der alten Schreibweise in die neue

Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:
${f(x)=a \cdot b^{x}}$
Diese kann in eine Exponentialfunktion mit ${e}$ umgewandelt werden. Mit ${e}$ lautet die allgemeine Formel:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante ${k}$.
Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:
$\begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} |logarithmieren \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x |:x \\ ln(b) &= k \end{align}$

Der allgemeine Funktionsterm des exponentiellen Wachstums ohne ${e}$ lautet:
${f(x)=a \cdot b^{x}}$
${a}$ steht hierbei für den Anfangsbestand.
${b}$ ist der Wachstums- eziehungsweise Zerfallsfaktor um den der Bestand in einem bestimmten Zeitraum multipliziert wird.

Beispiel

Auf einem Bankkonto befinden sich 200 €. Der Zinssatz beträgt 10% (pro Jahr).
Der Kontostand kann mit der Funktion
${f(x)=200 \cdot 1,1^{x}}$ (${x}$ in Jahren)
angegeben werden.

30px   Aufgabe 2 kg eines radioaktiven Materials haben eine Halbwertszeit von einem Jahr. 1) Geben Sie die dazugehörige Funktionsgleichung an! Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(x)= 2 \cdot 0,5^{x}}$ (${x}$in Jahren 2) Wieviel des Materials ist nach 4 Jahren noch übrig? Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(4)= 2 \cdot 0,5^4}$ ${f(4)= 0,125}$ Nach 4 Jahren sind noch 125 g des Materials übrig. 3) Wann sind noch 22 g des Materials übrig? Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} 0,022 &= 2 \cdot 0,5^{x} |:2 \\ 0,011 &= 0,5^{x} |log \\ log_{0,5} 0,011 &= x \\ 6,5 & \approx x \end{align}$ Nach ungefähr 6,5 Jahren sinf noch 22 g des Materials übrig.

Funktionsterm mit e

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Im Funktionstern steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ .
${k}$ steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.

Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.

Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).

Differenzialgleichung

Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:
${f'(x)=k \cdot f(x)}$

Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
${f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}$
Bis auf die Wachstumskonstante ${k}$ ist die Ableitungsfunktion ${f'(t)}$ identisch mit der Ausgangsfunktion ${f(t)}$, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
${f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}$

Beispiel

Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet ${k=0,3}$
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion
${f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}$
(x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.

30px   Aufgabe Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion ${f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}$ (t in Jahren) beschrieben werden. 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an! Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f'(t)=0,1 \cdot f(x)}$ 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel? Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}$ ${f(1)\approx 2,21}$ Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} 3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|:2 \\ 3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\ ln(3/2) &=0,1 \cdot x|:0,1 \\ \tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\ 4,06 & \approx x \end{align}$ Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel.