Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
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Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.
1. Möglichkeit: Gerade und Ebene schneiden sich
2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen parallel
3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind identisch
Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.
Vorgehen
Parameterform
E: x = SE + tR1E + sR2E
g: x = Sg + tRg
1. Überprüfung "parallel":
→ Skalarprodukt ausrechnen
n * Rg = 0
Anmerkung: Normalenvektor: n = R1E x R2E; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene
wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein
wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt
2. Überprüfen "identisch":
→ einfaches LGS erstellen
SE + tR1E + rR2E = Sg
gibt es eine Lösung?
wenn ja, E und g sind identisch.
wenn nein, E und g sind parallel.
→ ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses
SE + tR1E + sR2E = Sg + u * RS
Anmerkung: Löse nach u auf
→ setze u in die Gerade g ein
Koordinatenform
E: x = u1x1 + u2x2 + u3x3 = b
g: x = Sg + tRg
1. Gerade g in Ebene E einsetzen:
Die Gerade g Zeilenweise für x1, x2, x3 in Ebene E einsetzen
{n \choose k }
