Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt.

Funktionsgleichung

Funktionsterm

Im Funktionstern steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${t=0}$.
${k}$ steht für den Wachstums- beziehungsweise Zerfallsfaktor. Dieser bestimmt einerseits, wie stark oder schwach das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.
${t}$ wird anstelle des ${x}$ verwendet.

Der sich daraus ergebende Funktionsterm lautet:
${f(t)=a \cdot e^{k \cdot t}}$

Differienzialgleichung

Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:
${f'(t)=k \cdot f(t)}$

Herleitung:

Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
${f'(t)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot t}}$
Bis auf den Wachstumsfaktor ${k}$ ist die Ableitungsfunktion ${f'(t)}$ identisch mit der Ausgangsfunktion ${f(t)}$, daher kann der Teil ersetzt werden:
${f'(t)=k \cdot f(t)}$