Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt.

Funktionsgleichung

Funktionsterm

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
${f(t)=a \cdot e^{k \cdot t}}$

Im Funktionstern steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${t=0}$ .
${t}$ wird anstelle des ${x}$ verwendet.
${k}$ steht für den Wachstums- beziehungsweise Zerfallsfaktor. Dieser bestimmt einerseits, wie stark oder schwach das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.

Die unterschiedlichen Zerfallsfaktoren haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.

Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man einen negativen Wachstumsfaktor (Zerfallsfaktor).

Differienzialgleichung

Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:
${f'(t)=k \cdot f(t)}$

Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
${f'(t)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot t}}$
Bis auf den Wachstumsfaktor ${k}$ ist die Ableitungsfunktion ${f'(t)}$ identisch mit der Ausgangsfunktion ${f(t)}$, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
${f'(t)=k \cdot f(t)}$