Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.

Funktionsgleichung

Funktionsterm

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Im Funktionstern steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ .
${k}$ steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.

Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.

Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).

Differentialgleichung

Die dazugehörige Differentialgleichung lautet:
${f'(x)=k \cdot f(x)}$

Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
${f'(x)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot x}}$
Bis auf die Wachstumskonstante ${k}$ ist die Ableitungsfunktion ${f'(t)}$ identisch mit der Ausgangsfunktion ${f(t)}$, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
${f'(x)=k \cdot f(x)}$

Beispiel

Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet ${k=0,3}$
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion
${f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}$
(x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.

Aufgaben

30px   Aufgabe Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion ${f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}$ (t in Jahren) beschrieben werden. 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differentialgleichung an! Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f'(t)=0,1 \cdot f(x)}$ 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel? Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}$ ${f(1)\approx 2,21}$ Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? Lösung anzeigen Lösung verstecken ${3=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|/2}$ ${3/2=e^{0,1 \cdot x}|ln}$ ${ln(3/2)=0,1 \cdot x|/0,1}$ ${\tfrac{ln(3/2)}{0,1}=x}$ ${4,06 \approx x}$ Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel.