Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.
Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder mit ${e}$ oder mit einem anderen Wachstumsfaktor als Basis.

Funktionsterm ohne e

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstums ohne ${e}$ lautet:
${f(x)=a \cdot b^{x}}$
${a}$ steht hierbei für den Anfangsbestand.
${b}$ ist der Wachstums- beziehungsweise Zerfallsfaktor.

Beispiel

Auf einem Bankkonto befinden sich 200 €. Der Zinssatz beträgt 10% (pro Jahr).
Der Kontostand kann mit der Funktion
${f(x)=200 \cdot 1,1^{x}}$ (${x}$in Jahren)
angegeben werden.

30px   Aufgabe 2 kg eines radioaktiven Materials haben eine Halbwertszeit von einem Jahr. 1) Geben Sie die dazugehörige Funktionsgleichung an! Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(x)= 2 \cdot 0,5^{x}}$ (${x}$in Jahren 2) Wieviel des Materials ist nach 4 Jahren noch übrig? Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(4)= 2 \cdot 0,5^4}$ ${f(4)= 0,125}$ Nach 4 Jahren sind noch 125 g des Materials übrig. 3) Wann sind noch 22 g des Materials übrig? Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} 0,022 &= 2 \cdot 0,5^{x} |:2 \\ 0,011 &= 0,5^{x} |log \\ log_{0,5} 0,011 &= x \\ 6,5 & \approx x \end{align}$ Nach ungefähr 6,5 Jahren sinf noch 22 g des Materials übrig.

Funktionsterm mit e

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Im Funktionstern steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$ .
${k}$ steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.

Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.

Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).

Differenzialgleichung

Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:
${f'(x)=k \cdot f(x)}$

Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
${f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}$
Bis auf die Wachstumskonstante ${k}$ ist die Ableitungsfunktion ${f'(t)}$ identisch mit der Ausgangsfunktion ${f(t)}$, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
${f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}$

Beispiel

Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet ${k=0,3}$
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion
${f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}$
(x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.

Aufgaben

30px   Aufgabe Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion ${f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}}$ (t in Jahren) beschrieben werden. 1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an! Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f'(t)=0,1 \cdot f(x)}$ 2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel? Lösung anzeigen Lösung verstecken ${f(1)=2 \cdot e^{0,1 \cdot 1}}$ ${f(1)\approx 2,21}$ Nach einem Jahr befinden sich 221 Schafe auf der Insel. 3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel? Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} 3 &=2 \cdot e^{0,1 \cdot x}|:2 \\ 3/2 &=e^{0,1 \cdot x}|ln \\ ln(3/2) &=0,1 \cdot x|:0,1 \\ \tfrac{ln(3/2)}{0,1} &=x \\ 4,06 & \approx x \end{align}$ Nach ungefähr 4 Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel.