Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.
Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit ${e}$ als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne ${e}$.

Funktionsterm

Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Dabei steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$.
Die Eurlerische Zahl ${e}$ ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.
${k}$ ist die sogenannte wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist.

Umwandlung der alten Schreibweise in die neue

Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:
${f(x)=a \cdot b^{x}}$
Diese kann in eine Exponentialfunktion mit ${e}$ umgewandelt werden. Mit ${e}$ lautet die allgemeine Formel:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante ${k}$.
Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:

$\begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} |logarithmieren \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x |:x \\ ln(b) &= k \end{align}$

Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit ${x}$ multiplizieren.

Beispiel

Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.
Alte Schreibweise:
${f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}$

Neue Schreibweise:
1. Wachstumskonstante berechnen:

$\begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align}$

2. Funktionsgleichung aufstellen:
${f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}$

30px   Aufgabe Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%. Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align}$

Anfangsbestand berechnen

Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.
Um ${a}$ auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.

$\begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} |:e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align}$

Beispiel

Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante ${k=0,5}$ an der Stelle ${x=5,025}$ eine Höhe von ${y=37}$ hat.
$\begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align}$

30px   Aufgabe Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante ${k=0,2}$ an der Stelle ${x=2,03}$ eine Höhe von ${y=15}$ hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand ${a}$ ! Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align}$

Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.

$\begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align}$

Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion
${f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}$

Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:

$\begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align}$

30px   Aufgabe Gegeben ist die Funktion ${f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}$ Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle ${x=10}$ ! Lösung anzeigen Lösung verstecken $\begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align}$

Übungsaufgabe

Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen.
a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!

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$\begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align}$

b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind?

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$\begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align}$

Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben.

c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein?

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$\begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align}$

Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto.

d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?

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$\begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} |:100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} |logarithmieren \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x |: 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align}$

Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto.