Definition und Winkel zwischen Vektoren

Winkelberechnung zweier Vektoren mithilfe des Skalarprodukts

Vektoren:

allgemein:

$\mathbb{R}^3 \qquad \vec a$ = $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ $\vec b$ = $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

am Beispiel:

$\vec a$ = $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec b$ = $\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

Berechnung des Skalars:

allgemein:

$\vec a$ $\cdot$ $\vec b$ = $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ = (a₁ $\cdot$ b₁ + a₂ $\cdot$ b₂ + a₃ $\cdot$ b₃)

am Beispiel:

$\vec a$ $\cdot$ $\vec b$ = $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$ = $1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28$

Formel zur Winkelberechnung:

$\vec a \cdot \vec b = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot cos \alpha$

$cos \alpha = {\vec a \cdot \vec b \over \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|} \qquad$ (in Formelsammlung angegeben)

Errechnen von $\left| \vec a \right|$ und $\left| \vec b \right|$ anhand des Beispiels:

$\left| \vec a \right|$ = $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$\left| \vec b \right|$ = $\sqrt{6^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 25 + 16} = \sqrt{77}$

Einsetzen der Zwischenergebnisse in die Formel:

$cos \alpha = { 28 \over \sqrt{14} \cdot \sqrt{77}}$

Errechnen mit Hilfe des GTRs:

$cos \alpha = 0,85$

$\alpha = 31,8^\circ$

Ausnahme:

Die Ausnahme gilt, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt. In diesem Fall weiß man, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\alpha = 90^\circ$ ist.

(Die weiteren Schritte müssen nicht gemacht werden!)

Beispiel:

$\vec a$ = $\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$ $\vec b$ = $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\vec a$ $\cdot$ $\vec b$ = $\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ = $(-3) \cdot 5 + 0 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) = 0$

$Skalarprodukt = 0 \rightarrow \alpha = 90^\circ$

Aufgabe:

Berechne den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec a$ = $\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ und $\vec b$ = $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$