Exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt.<br />
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Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet.<br />
  
 
==Funktionsgleichung==
 
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===Funktionsterm===
 
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Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br />
 
Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:<br />
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<math>{f(t)=a \cdot e^{k \cdot t}}</math><br /><br />
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<math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br />
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Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{t=0}</math> .<br />
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Im Funktionstern steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math> .<br />
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<math>{t}</math> wird anstelle des <math>{x}</math> verwendet.<br />
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<math>{k}</math> steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br />
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<math>{k}</math> steht für den Wachstums- beziehungsweise Zerfallsfaktor. Dieser bestimmt einerseits, wie stark oder schwach das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.<br /><br />
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Die unterschiedlichen Zerfallsfaktoren haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.
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Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.
 
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Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man einen negativen Wachstumsfaktor (Zerfallsfaktor).
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Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).
 
===Differienzialgleichung===
 
===Differienzialgleichung===
 
Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br />
 
Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:<br />
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<math>{f'(t)=k \cdot f(t)}</math><br /><br />
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<math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math><br /><br />
 
Erklärung:<br />
 
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Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br />
 
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:<br />
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<math>{f'(t)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot t}}</math><br />
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<math>{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br />
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Bis auf den Wachstumsfaktor <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br />
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Bis auf die Wachstumskonstante <math>{k}</math> ist die Ableitungsfunktion <math>{f'(t)}</math> identisch mit der Ausgangsfunktion <math>{f(t)}</math>, daher kann der identische Teil ersetzt werden:<br />
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<math>{f'(t)=k \cdot f(t)}</math>
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<math>{f'(x)=k \cdot f(x)}</math>
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==Beispiel==
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[[Datei:Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png|rahmenlos|rechts]]
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Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die wachstumskonstante lautet <math>{k=0,3}</math><br />
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Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion<br /><math>{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}</math><br /> (x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.

Version vom 31. August 2018, 18:44 Uhr

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet.

Inhaltsverzeichnis

Funktionsgleichung

Funktionsterm

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}

Im Funktionstern steht {a} für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt {x=0} .
{k} steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.

Exponentielles Wachstum 3.png
Exponentielles Wachstum 2.png

Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.

Exponentielles Wachstum 1.png

Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).

Differienzialgleichung

Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:
{f'(x)=k \cdot f(x)}

Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
{f'(x)=k \cdot a \cdot e^{k \cdot x}}
Bis auf die Wachstumskonstante {k} ist die Ableitungsfunktion {f'(t)} identisch mit der Ausgangsfunktion {f(t)}, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
{f'(x)=k \cdot f(x)}

Beispiel

Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png

Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die wachstumskonstante lautet {k=0,3}
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion
{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}
(x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.

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