Exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br />
 
Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.<br />
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Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math{e}</math>.<br />
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Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit <math>{e}</math> als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne <math>{e}</math>.<br />
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==Funktionsterm==
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Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:<br />
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<math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br /><br />
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Dabei steht <math>{a}</math> für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt <math>{x=0}</math>.<br />
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Die Eurlerische Zahl <math>{e}</math> ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.<br />
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<math>{k}</math> ist die sogenannte wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist.
  
 
==Umwandlung der alten Schreibweise in die neue==
 
==Umwandlung der alten Schreibweise in die neue==
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<math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br />
 
<math>{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}</math><br />
 
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br />
 
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante <math>{k}</math>.<br />
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Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br />
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Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:<br /><br />
 
<math> \begin{align}
 
<math> \begin{align}
 
a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\
 
a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\
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ln(b) &= k
 
ln(b) &= k
 
\end{align} </math> <br /><br />
 
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Der  allgemeine Funktionsterm des exponentiellen Wachstums ohne <math>{e}</math> lautet:<br />
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Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit <math>{x}</math> multiplizieren.
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<math>{f(x)=a \cdot b^{x}}</math><br />
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<math>{a}</math> steht hierbei für den Anfangsbestand.<br />
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<math>{b}</math>  ist der Wachstums- eziehungsweise Zerfallsfaktor um den der Bestand in einem bestimmten Zeitraum multipliziert wird.<br />
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===Beispiel===
 
===Beispiel===
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[[Datei:Exponentielles Wachstum.png|rahmenlos|rechts]]
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[[Datei:Alte Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]]
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Auf einem Bankkonto befinden sich 200 €. Der Zinssatz beträgt 10% (pro Jahr).<br />
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Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.<br />
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Der Kontostand kann mit der Funktion<br />
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Alte Schreibweise:<br />
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<math>{f(x)=200 \cdot 1,1^{x}}</math> (<math>{x}</math> in Jahren)<br />
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<math>{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}</math><br /><br />
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angegeben werden.<br />
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Neue Schreibweise:<br />
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1. Wachstumskonstante berechnen:<br ><br />
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<math> \begin{align} k &=ln(b) \\
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k &=ln(1,1) \\
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k & \approx 0,095
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\end{align} </math><br /><br />
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[[Datei:Neue Schreibweise.png|rahmenlos|rechts]]
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2. Funktionsgleichung aufstellen:<br />
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<math>{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}</math>
  
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{{Aufgabe|2 kg eines radioaktiven Materials haben eine Halbwertszeit von einem Jahr.<br />
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{{Aufgabe|Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.<br />
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1) Geben Sie die dazugehörige Funktionsgleichung an!<br />
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Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!
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<popup name="Lösung">
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<math>{f(x)= 2 \cdot 0,5^{x}}</math> (<math>{x}</math>in Jahren
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</popup>
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2) Wieviel des Materials ist nach 4 Jahren noch übrig?<br />
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<popup name="Lösung">
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<math>{f(4)= 2 \cdot 0,5^4}</math><br />
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<math>{f(4)= 0,125}</math><br />
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Nach 4 Jahren sind noch 125 g des Materials übrig.
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</popup>
+
−
3) Wann sind noch 22 g des Materials übrig?<br />
+
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
<math> \begin{align}
 
<math> \begin{align}
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0,022 &= 2 \cdot 0,5^{x} |:2 \\
+
f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\
−
0,011 &= 0,5^{x} |log \\
+
f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x}
−
log_{0,5} 0,011 &= x \\
+
\end{align} </math>
−
6,5 & \approx x
+
</popup>}}
−
\end{align} </math><br />
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Nach ungefähr 6,5 Jahren sinf noch 22 g des Materials übrig.
+
−
</popup>
+
−
}}
+
  
 
==Funktionsterm mit e==
 
==Funktionsterm mit e==

Version vom 3. Oktober 2018, 13:12 Uhr

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.
Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit {e} als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne {e}.

Inhaltsverzeichnis

Funktionsterm

Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:
{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}

Dabei steht {a} für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt {x=0}.
Die Eurlerische Zahl {e} ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.
{k} ist die sogenannte wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist.

Umwandlung der alten Schreibweise in die neue

Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:
{f(x)=a \cdot b^{x}}
Diese kann in eine Exponentialfunktion mit {e} umgewandelt werden. Mit {e} lautet die allgemeine Formel:
{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante {k}.
Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:

\begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} |logarithmieren \\ ln(bx) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x |:x \\ ln(b) &= k \end{align}

Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit {x} multiplizieren.


Beispiel

Alte Schreibweise.png

Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.
Alte Schreibweise:
{f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}

Neue Schreibweise:
1. Wachstumskonstante berechnen:

\begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align}

Neue Schreibweise.png

2. Funktionsgleichung aufstellen:
{f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}

30px   Aufgabe

Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%.
Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!

Funktionsterm mit e

Der Funktionsterm des exponentiellen Wachstum lautet:
{f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}

Im Funktionstern steht {a} für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt {x=0} .
{k} steht für die Wachstums- beziehungsweise Zerfallskonstante. Diese bestimmt einerseits, wie "stark" oder "schwach" das Wachstum ist und andererseits ob es sich um Wachstum oder Zerfall handelt.

Exponentielles Wachstum 3.png
Exponentielles Wachstum 2.png

Die unterschiedlichen Wachstumskonstanten haben ein "stärkeres" oder "schwächeres" exponentielles Wachstum zur Folge.

Exponentielles Wachstum 1.png

Für einen exponentiellen Zerfall benötigt man eine negative Wachstumskonstante (Zerfallskonstante).

Differenzialgleichung

Die dazugehörige Differenzialgleichung lautet:
{f'(x)=k \cdot f(x)}

Erklärung:
Die Ableitung des Funktionsterms lautet:
{f'(x)=k \cdot {\color{red} a \cdot e^{k \cdot x}}}
Bis auf die Wachstumskonstante {k} ist die Ableitungsfunktion {f'(t)} identisch mit der Ausgangsfunktion {f(t)}, daher kann der identische Teil ersetzt werden:
{f'(x)=k \cdot {\color{red} f(x)}}

Beispiel

Expponentielles Wachstum Beispiel 1.png

Eine Bakterienkultur besteht zu Beobachtungsbeginn aus 2 Millionen Bakterien. Die Wachstumskonstante lautet {k=0,3}
Somit kann die Anzahl der Bakterien (in Millionen) mit der Funktion
{f(x)=2 \cdot e^{0,3 \cdot x}}
(x in Tagen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden.






30px   Aufgabe

Die Anzahl (in 100) der Schafe auf einer Insel kann mit der Funktion {f(t)=2 \cdot e^{0,1 \cdot t}} (t in Jahren) beschrieben werden.
1) Geben Sie die Funktionsgleichung als Differenzialgleichung an!

2) Wie viele Schafe befinden sich nach einem Jahr auf der Insel?

3) Nach wie vielen Jahren befinden sich 300 Schafe auf der Insel?

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