Exponentielles Wachstum

Exponentiell ist ein Wachstum, wenn ein Bestand in gleichen Zeitabständen um einen bestimmten Faktor zu- oder abnimmt. Eine weitere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass es, wenn es nicht auf der y-Achse verschoben ist, die x-Achse nicht berührt oder schneidet,sondern sich dieser nur annähert.

Funktionsterm

Für Exponentialfunktionen lautet die allgemeine Form:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$

Dabei steht ${a}$ für den Anfangsbestand, also den Bestand zum Zeitpunkt ${x=0}$.
Die Eurlerische Zahl ${e}$ ersetzt in dieser Schreibweise die Wachstumskonstante.

${k}$ ist die sogenannte Wachstumskonstante, die für die Umwandlung der alten Schreibweise in die neue wichtig ist.

Umwandlung der alten Schreibweise in die neue

Exponentialfunktionen können grundsätzlich auf zwei verschiedene Weisen gebildet werden, entweder in der neuen Schreibweise mit ${e}$ als Basis, oder in der alten Schreibweise ohne ${e}$.

Exponentialfunktionen ohne e sind meist leichter zu bilden. Die allgemeine Form lautet:
${f(x)=a \cdot b^{x}}$

Diese kann in eine Exponentialfunktion mit ${e}$ umgewandelt werden. Mit ${e}$ lautet die allgemeine Formel:
${f(x)=a \cdot e^{k \cdot x}}$
Bei der alten Schreibweise fehlt als Unbekannte im Vergleich zu der neuen nur die Wachstumskonstante ${k}$.
Ausrechnen lässt sich die Wachstumskonstante, indem man beide Formen gleichsetzt:

$\begin{align} a \cdot b^{x} &= a \cdot e^{k \cdot x} \quad |:a \\ b^{x} &= e^{k \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(b^x) &= k \cdot x \\ ln(b) \cdot x &= k \cdot x \quad | \div x \\ ln(b) &= k \end{align}$

Um die alte Schreibweise in die neue umzuwandeln muss man also nur den natürlichen Logarithmus des ursprünglichen Wachstumsfaktors bilden und das Ergebnis als Wachstumskonstante im Exponent mit ${x}$ multiplizieren.

Beispiel

Ein Anfangsbestand von 2 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 10%.
Alte Schreibweise:
${f(x)=2 \cdot 1,1^{x}}$

Neue Schreibweise:
1. Wachstumskonstante berechnen:

$\begin{align} k &=ln(b) \\ k &=ln(1,1) \\ k & \approx 0,095 \end{align}$

2. Funktionsgleichung aufstellen:
${f(x)=2 \cdot e^{0,095 \cdot x}}$

30px   Aufgabe Ein Anfangsbestand von 1 vermehrt sich in bestimmten Abständen um 50%. Geben Sie dazu eine Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an!

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$\begin{align} f(x) &=1 \cdot e^{ln(1,5) \cdot x} \\ f(x) &=1 \cdot e^{0,406 \cdot x} \end{align}$

Anfangsbestand berechnen

Wenn der Anfangsbestand unbekannt ist müssen alle anderen Werte gegeben sein, auch ein y-Wert.
Um ${a}$ auszurechnen muss die Funktionsgleichung umgeformt werden.

$\begin{align} y &=a \cdot e^{k \cdot x} \quad | \div e^{k \cdot x} \\ \frac{y}{e^{k \cdot x}} &=a \end{align}$

Beispiel

Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante ${k=0,5}$ an der Stelle ${x=5,025}$ eine Höhe von ${y=37}$ hat.
$\begin{align} a &=\frac{37}{e^{0,5 \cdot 5,025}} \\ a &=\frac{37}{12,336} \\ a &\approx 3 \end{align}$

30px   Aufgabe Es ist gegeben, dass ein Graph mit der Wachstumskonstante ${k=0,2}$ an der Stelle ${x=2,03}$ eine Höhe von ${y=15}$ hat. Bestimmen Sie den Anfangsbestand ${a}$ !

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$\begin{align} a &=\frac{15}{e^{0,2 \cdot 2,03}} \\ a &=\frac{15}{1,501} \\ a &\approx 10 \end{align}$

Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

Um die Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, muss man die Ableitung bilden.

$\begin{align} f(x) &= a \cdot e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \end{align}$

Mit der ableitungsfunktion lässt sich die Wachstumsgeschwindigkeit an jeder beliebiger Stelle des Graphen berechen.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion
${f(x) =7 \cdot e^{0,1 \cdot x}}$

Die dazugehörige Ableitungsfunktion lautet:

$\begin{align} f'(x) &= 0,1 \cdot 7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \\ f'(x) &= 0,7 \cdot e^{0,1 \cdot x} \end{align}$

30px   Aufgabe Gegeben ist die Funktion ${f(x)=4 \cdot e^{0,3 \cdot x}}$ Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle ${x=10}$ !

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$\begin{align} f'(x) &=0,3 \cdot 4 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ f'(x) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot x} \\ \\ f'(10) &=1,2 \cdot e^{0,3 \cdot 10} \\ f'(10) &=24,1 \end{align}$

Übungsaufgabe

30px   Aufgabe Eine Bank bietet 2% (jährlich) Zinsen. a)Geben Sie, so weit möglich, die Funktionsgleichung in der neuen Schreibweise an! b)Wie hoch war der Kontostand zu Beobachtungsbeginn, wenn nach zwei Jahren 104,04 € auf dem Konto sind? c)Wieviel Geld wird nach 10 Jahren auf dem Konto sein? d)Wann befinden sich 150 € auf dem Konto?

Lösung a) anzeigen

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$\begin{align} f(x) &= a \cdot e^{ln(1,02) \cdot x} \\ f(x) &= a \cdot e^{0,02 \cdot x} \end{align}$

Lösung b) anzeigen

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$\begin{align} a &= \frac{104,04}{e^{0,02 \cdot 2}} \\ a & \approx 100 \end{align}$

Mit den gegebenen Werten muss der Kontostand zu Beobachtungsbeginn ungefähr 100 € betragen haben.

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$\begin{align} f(x) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \\ f(10) &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot 10} \\ f(10) & \approx 122 \end{align}$

Nach 10 Jahren befinden sich ungefähr 122 € auf dem Konto.

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$\begin{align} 150 &= 100 \cdot e^{0,02 \cdot x} \quad | \div 100 \\ \frac{3}{2} &= e^{0,02 \cdot x} \quad | \mbox{mit } e \mbox{ logarithmieren} \\ ln(1,5) &= 0,02 \cdot x \quad |\div 0,02 \\ \frac{ln(1,5)}{0,02} &= x \\ 20,273 & \approx x \end{align}$

Nach ungefähr 20 Jahren und 3 Monaten befinden sich 150 € auf dem Konto.