Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene: Unterschied zwischen den Versionen
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== Vorgehen == | == Vorgehen == | ||
==== Parameterform ==== | ==== Parameterform ==== | ||
| − | E: x = | + | <math>E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}</math><br /> |
| − | g: x = | + | <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}</math><br /> |
<br /> | <br /> | ||
===== 1. Überprüfung "parallel": ===== | ===== 1. Überprüfung "parallel": ===== | ||
→ Skalarprodukt ausrechnen<br /> | → Skalarprodukt ausrechnen<br /> | ||
| − | + | <math> \vec n \cdot \vec R_{g}= 0</math><br /><br /> | |
| − | ''Anmerkung: Normalenvektor: n = | + | ''Anmerkung: Normalenvektor: <math> \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}</math> ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene''<br /> |
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wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> | wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein <br /> | ||
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===== 2. Überprüfen "identisch": ===== | ===== 2. Überprüfen "identisch": ===== | ||
→ einfaches LGS erstellen <br /> | → einfaches LGS erstellen <br /> | ||
| − | + | <math>S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}</math><br /> | |
gibt es eine Lösung? <br /> | gibt es eine Lösung? <br /> | ||
wenn ja, E und g sind identisch. <br /> | wenn ja, E und g sind identisch. <br /> | ||
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wenn nein, E und g sind parallel. <br /> | wenn nein, E und g sind parallel. <br /> | ||
→ ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> | → ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses <br /> | ||
| − | + | <math> \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}</math> <br /> | |
<br /> | <br /> | ||
'' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> | '' Anmerkung: Löse nach u auf '' <br /> | ||
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==== Koordinatenform ==== | ==== Koordinatenform ==== | ||
| − | E: x = | + | <math>E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b </math><br /> |
| − | g: x = | + | <math>g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}</math> <br /> |
<br /> | <br /> | ||
===== 1. Gerade g in Ebene E einsetzen: ===== | ===== 1. Gerade g in Ebene E einsetzen: ===== | ||
Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /> | Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /> | ||
| − | { | + | <br />Schaubild Baum<br /> |
| + | <br /> | ||
| + | ==Beispiele== | ||
| + | ====Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:==== | ||
| + | <math>E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5</math><br /><br /> | ||
| + | <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> | ||
| + | Die Gerade g Zeilenweise für x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> in Ebene E einsetzen <br /><br /> | ||
| + | <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} | ||
| + | x_{1}= & -1+2t \\ | ||
| + | x_{2}= & 6-t \\ | ||
| + | x_{3}= & -6+3t | ||
| + | \end{matrix}</math><br /><br /> | ||
| + | <math> E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 </math><br /> | ||
| + | <math> 1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t = 5</math><br /> | ||
| + | <math> -2t - 2t + 3t + 7 = 5 | -7</math><br /> | ||
| + | <math> -t = -2 </math><br /> | ||
| + | <math> t = 2</math><br /> | ||
| + | <math> t </math> in Gerade g einsetzen:<br /> | ||
| + | <math> g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0) </math><br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | |||
| + | ====Beispeil Nr. 2 Parameterform:==== | ||
| + | <math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> | ||
| + | <math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)</math><br /><br /> | ||
| + | Auf "parallelität" überprüfen:<br /> | ||
Version vom 16. September 2016, 16:40 Uhr
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Inhaltsverzeichnis |
Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.
1. Möglichkeit: Gerade und Ebene schneiden sich
2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen parallel
3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind identisch
Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.
Vorgehen
Parameterform
1. Überprüfung "parallel":
→ Skalarprodukt ausrechnen
Anmerkung: Normalenvektor: 
; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene
wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein
wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt
2. Überprüfen "identisch":
→ einfaches LGS erstellen
gibt es eine Lösung?
wenn ja, E und g sind identisch.
wenn nein, E und g sind parallel.
→ ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses
Anmerkung: Löse nach u auf
→ setze u in die Gerade g ein
Koordinatenform
1. Gerade g in Ebene E einsetzen:
Die Gerade g Zeilenweise für x1, x2, x3 in Ebene E einsetzen
Schaubild Baum
Beispiele
Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:
Die Gerade g Zeilenweise für x1, x2, x3 in Ebene E einsetzen
in Gerade g einsetzen:
Beispeil Nr. 2 Parameterform:
Auf "parallelität" überprüfen:
