Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
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<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/>
 
<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br/>
 
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<math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup>
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<math>\left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)</math></popup><br />
 
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0=7 → keine Lösung, daher parallel!
 
0=7 → keine Lösung, daher parallel!
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S(-3/-5/-5)
 
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weitere Aufgaben folgen am 17. September 2016
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c.)<br />
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<math>E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5</math><br /><br />
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<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
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<math>-2,5(2+t)-0,5(t)+3(t)=-5</math>
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0=-10 → parallel
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d.)<br />
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<math>E: \begin{bmatrix}
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\vec x      & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right)      \\
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\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0</math><br /><br />
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<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t </math><br /><br />
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<popup name="Hinweis 1">
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Stelle Ebene E als Koordinatenform um.
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<popup name="Hinweis 2">
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Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot 3+(x_{2}-2) \cdot (-1)+(x_{3}-1) \cdot 1=0</math>
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<popup name="Hinweis 3">
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<math>E: \vec x= 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=5</math>
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<popup name="Hinweis 4">
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Setze Gerade g in die Ebene E ein.
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<popup name="Hinweis 5">
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t=0 ; → sie sind weder parallel noch identisch.
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S(1/0/2)
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e.)<br />
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<math>E: \begin{bmatrix}
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\vec x      & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right)      \\
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\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br />
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<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
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<popup name="Hinweis 1">
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Stelle Ebene E als Koordinatenform um.
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</popup><br />
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<popup name="Hinweis 2">
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Ebene E als Koordinatenform: <math>(x_{1}-2) \cdot (-2)+(x_{2}-4) \cdot 1+(x_{3}-3) \cdot 2=0</math>
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</popup><br />
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<popup name="Hinweis 3">
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<math>E: \vec x= 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=6</math>
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<popup name="Hinweis 4">
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Setze Gerade g in die Ebene E ein.
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</popup><br />
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<popup name="Lösung">
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0=-12 → parallel
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</popup><br />
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<br />
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f.)<br />
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<math>E: \begin{bmatrix}
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\vec x      & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right)      \\
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\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0</math><br /><br />
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<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
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<popup name="Hinweis 3">
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<math>E: \vec x= -3x_{1}+x_{2}=10</math>
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</popup><br />
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<popup name="Hinweis 4">
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Setze Gerade g in die Ebene E ein.
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<popup name="Lösung">
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0=13 → parallel
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====Nr. 3 Schnittpunkt====
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Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g. <br /><br />
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<math>E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
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<math>g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)</math><br /><br />
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<popup name="Hinweis 1">
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Skalarprodukt ausrechnen.
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</popup><br />
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<popup name="Hinweis 2">
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<math> \vec n= \left( \begin{matrix} 1\\5\\-3 \end{matrix}\right)</math>
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</popup><br />
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<popup name="Hinweis 3">
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10 ≠ 0 ; → sie sind entweder parallel oder identisch.
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</popup><br />
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<popup name="Hinweis 4">
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LGS aufstellen und lösen.
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</popup><br />
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<popup name="Hinweis 5">
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<math>t= - \frac{1}{2} ; r=0 ; s=1,5 </math>
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</popup><br />
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<popup name="Hinweis 6">
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Schnittpunkt ausrechnen.
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</popup><br />
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<popup name="Lösung">
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S(5,5/-1/0,5)
 +
</popup><br />

Version vom 18. September 2016, 13:50 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit: Gerade und Ebene schneiden sich

2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen parallel

3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind identisch

Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.

Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830


Vorgehen

Parameterform

E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}
g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}

1. Überprüfung "parallel":

→ Skalarprodukt ausrechnen
\vec n \cdot \vec R_{g}= 0

Anmerkung: Normalenvektor: \vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene

wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein
wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt

2. Überprüfung "identisch":

→ einfaches LGS erstellen
S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}
gibt es eine Lösung?
wenn ja, E und g sind identisch.

wenn nein, E und g sind parallel.
→ ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses
\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}

Anmerkung: Löse nach u auf

→ setze u in die Gerade g ein

Koordinatenform

E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b
g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}

Die Gerade g in Ebene E einsetzen:
Die Gerade g Zeilenweise für x1, x2, x3 in Ebene E einsetzen

Schaubild Baum

Beispiele

Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:

E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5

g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)

Die Gerade g Zeilenweise für x1, x2, x3 in Ebene E einsetzen

g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}

E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5 

          1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t        = 5

             -2t - 2t + 3t + 7             = 5    | -7

                                        -t = -2   

                                         t = 2

t in Gerade g einsetzen:
g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0)

Beispeil Nr. 2 Parameterform:

E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)

Auf "parallelität" überprüfen:
\longrightarrow Normalenvektor von Ebene E ausrechnen
\vec u= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E} = \left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right)= \vec n

\vec n \cdot \vec R_{g}= 0
\left( \begin{matrix} 51\\73\\21 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right) = 0 \longrightarrow 102+73= 157 \ne 0

Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen: \begin{matrix} 0-5r+2s= &3+2t \\ 0+3r+3s= &2+t \\ -4-4r+13s= &1 \end{matrix}.............. \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \\ -4r+13s= &5 \end{matrix}.............. \begin{matrix} -2t-5r+2s= &3 \\ -t+3r+3s= &2 \end{matrix}

Aufgaben

Nr. 1 Parallelität

Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist.

E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\1 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right)




Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt

Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel.

a.)
E: \vec x= 3x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-4

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\-2\\-1 \end{matrix}\right)





b.)
E:\vec x=-2,5x_{1}-o,5x_{2}+2x_{3}=0

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)
br />






c.)
E: \vec x=-2,5x_{1}-0,5x_{2}+3x_{3}=-5

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 2\\0\\0 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right)




d.)
E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\2\\1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 3\\-1\\1 \end{matrix}\right) =0

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} 2\\-2\\1 \end{matrix}\right) \cdot t








e.)
E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} 2\\4\\3 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -2\\1\\2 \end{matrix}\right)=0

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\6\\5 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\-1 \end{matrix}\right)







f.)
E: \begin{bmatrix} \vec x & -\left( \begin{matrix} -2\\4\\-1 \end{matrix}\right) \\ \end{bmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} -3\\1\\0 \end{matrix}\right)=0

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\0\\2 \end{matrix}\right) + t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\6\\6 \end{matrix}\right)





Nr. 3 Schnittpunkt

Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g.

E: \vec x= \left( \begin{matrix} 1\\-1\\-1 \end{matrix}\right) +r \cdot \left( \begin{matrix} 1\\1\\2 \end{matrix}\right) +s \cdot \left( \begin{matrix} 3\\0\\1 \end{matrix}\right)

g: \vec x= \left( \begin{matrix} 5\\1\\2 \end{matrix}\right) +t \cdot \left( \begin{matrix} -1\\4\\3 \end{matrix}\right)








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