Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

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Einleitung: Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Gerade und Ebene können verschieden zueinander im dreidimensionalen Raum liegen. Dabei unterscheidet man zwischen diesen drei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit: Gerade und Ebene schneiden sich

2. Möglichkeit: Gerade und Ebene verlaufen parallel

3. Möglichkeit: Gerade und Ebene sind identisch

Die Unterschiede der verschiedenen Fälle sind in der Tabelle genau aufgelistet, schau sie dir deshalb gut an.

Datei:Unbenannt 1 - OpenOffice Writer 14.09.2016 174830

Vorgehen

Parameterform

$E: \vec x = \vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E}$
$g: \vec x = \vec S_{g} + t \cdot\vec R_{g}$

1. Überprüfung "parallel":

→ Skalarprodukt ausrechnen
$\vec n \cdot \vec R_{g}= 0$

Anmerkung: Normalenvektor: $\vec n= \vec R_{1E} \times \vec R_{2E}$ ; das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene

wenn z.B. t = 5, dann haben die Gerade und Ebene einen Schnittpunkt. Setze nun nur noch t in die Gerade g ein
wenn z.B. 0 = x, dann ist die Gerade und Ebene entweder parallel zueinander oder identisch. Überprüfe dies durch den 2. Schritt

2. Überprüfen "identisch":

→ einfaches LGS erstellen
$S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + r \cdot\vec R_{2E} = S_{g}$
gibt es eine Lösung?
wenn ja, E und g sind identisch.

wenn nein, E und g sind parallel.
→ ist dies der Fall, stelle ein komplettes LGS auf und löse dieses
$\vec S_{E} + t \cdot\vec R_{1E} + s \cdot\vec R_{2E} = \vec S<_{g} + u \cdot \vec R_{S}$

Anmerkung: Löse nach u auf

→ setze u in die Gerade g ein

Koordinatenform

$E: \vec x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = b$
$g: \vec x = \vec S_{g} + t \vec R_{g}$

1. Gerade g in Ebene E einsetzen:

Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen

Schaubild Baum

Beispiele

Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:

$E: \vec x=-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5$

$g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)$

Die Gerade g Zeilenweise für x₁, x₂, x₃ in Ebene E einsetzen

$g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right)\longrightarrow \begin{matrix} x_{1}= & -1+2t \\ x_{2}= & 6-t \\ x_{3}= & -6+3t \end{matrix}$

$E: \vec x= -(-1+2t) + 2 \cdot (6-t) + (-6-3t) = 5$

        $1 - 2t + 12 - 2t - 6 + 3t        = 5$

        $-2t - 2t + 3t + 7             = 5    | -7$

        $-t = -2$

        $t = 2$

$t$ in Gerade g einsetzen:
$g: \vec x= \left( \begin{matrix} -1\\6\\-6 \end{matrix}\right) + 2 \cdot \left( \begin{matrix} 2\\-1\\3 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\4\\0 \end{matrix}\right) \longrightarrow S(3/4/0)$

Beispeil Nr. 2 Parameterform:

$E: \vec x= \left( \begin{matrix} 0\\0\\-4 \end{matrix}\right)+r \cdot \left( \begin{matrix} -5\\3\\-4 \end{matrix}\right)+s \cdot \left( \begin{matrix} 2\\3\\13 \end{matrix}\right)$

$g: \vec x= \left( \begin{matrix} 3\\2\\1 \end{matrix}\right)+t \cdot \left( \begin{matrix} 2\\1\\0 \end{matrix}\right)$

Auf "parallelität" überprüfen: