Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben: <math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math>
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Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math>
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Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br />
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<math> cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math><br />
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Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9°
  
  

Version vom 3. Juni 2016, 11:05 Uhr

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit \alpha(\alpha \le 90°)und zwei mit 180°-\alpha. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn \vec u und \vec v Richtungsvektoren sind, kann man den Schnittwinkel \alpha mit der folgenden Formel berechnen: cos(\alpha)= \dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}


Beispielaufgabe: Gegeben:

g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}
h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}

Gesucht: Schnittwinkel \alpha

cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}
Schnittwinkel \alpha= 70,9°



Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel \alpha zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel \alpha wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren \vec n1  und \vec n2 der Ebene gleich ist. cos(\alpha)= \dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}

Beispielaufgabe: Geg.: E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 

     E_{2}: [{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0

Ges.: Schnittwinkel \alpha 

     cos(\alpha)=\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}   Schnittwinkel \alpha= 42,4°



Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.Der Winkel der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel \alpha der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel \beta zwischen dem Normalenvektor \vec n der Ebene E und dem Richtungsvektor \vec u der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel \alpha zu 90°. sin(\alpha)= \dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}

Beispielaufgabe: Geg.: g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} 

     E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12

Ges.: Schnittwinkel \alpha 

     sin(\alpha)=\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}   Schnittwinkel \alpha= 19,1°



Abstand zwischen windschiefen Geraden

Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden g:{\vec x}={\vec p}+s*{\vec u} bzw. h:{\vec x}={\vec q}+t*{\vec v} sind, dann gilt: (1){\vec GH}*{\vec u}=0 und (2){\vec GH}*{\vec v}=0, dann ist {|\vec GH|} der Abstand der beiden Geraden g und h.

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