Winkelberechnungen zwischen Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Friedrich-Schiller-Gymnasium
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
Zeile 2: Zeile 2:
  
 
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>.
 
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit <math>\alpha</math>(<math>\alpha</math> <math>\le</math> 90°)und zwei mit 180°-<math>\alpha</math>.
−
Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec v|}{|\vec u|*|\vec v|}</math>  
+
Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn <math> \vec u</math> und <math>\vec v</math> <u>Richtungsvektoren</u> sind, kann man den Schnittwinkel <math>\alpha</math> mit der folgenden Formel berechnen: cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u \circ \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}</math>  
 
Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet.  
 
Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet.  
 
[[Datei:gerade gerade.gif|miniatur]]
 
[[Datei:gerade gerade.gif|miniatur]]
Zeile 9: Zeile 9:
 
Gegeben: <br />
 
Gegeben: <br />
  
−
<math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br />
+
<math>g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math> <br />
−
<math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math>
+
<math>h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}</math>
  
 
Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br />
 
Gesucht: Schnittwinkel <math>\alpha</math> <br />
  
−
<math> cos \alpha = \dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math><br />
+
<math> cos \alpha = \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}</math><br />
 
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9°
 
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 70,9°
  
Zeile 23: Zeile 23:
 
'''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen'''
 
'''Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen'''
  
−
Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n1</math>  und <math>\vec n2</math> der Ebene gleich ist.
+
Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel <math>\alpha</math> wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren <math>\vec n_1</math>  und <math>\vec n_2</math> der Ebene gleich ist.
−
cos(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec n1*\vec n2|}{|\vec n1|*|\vec n2|}</math>
+
 
 +
<math>cos(\alpha)= \dfrac{| \vec n_1 \circ \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|} </math>
 
[[Datei:ebene ebne.gif|miniatur]]
 
[[Datei:ebene ebne.gif|miniatur]]
  
Zeile 30: Zeile 31:
 
Geg.:<br />
 
Geg.:<br />
  
−
<math>E_{1}</math>: <math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12
+
<math>E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 </math>
−
<math>E_{2}</math>: <math>[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}]*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}</math>=0
+
 
 +
<math>E_{2}:\left[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0 </math>
  
 
Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br />
 
Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br />
  
 +
<math>cos(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}}</math> 
  
−
cos(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}*\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}}</math> = <math>\dfrac{6}{\sqrt{6}*\sqrt{11}}</math>  Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4°   
+
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 42,4°   
  
  
Zeile 45: Zeile 48:
  
 
Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°.
 
Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.<u>Der Winkel</u> der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Normalenvektor <math>\vec n</math> der Ebene E und dem Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel <math>\alpha</math> zu 90°.
−
sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u*\vec n|}{|\vec u|*|\vec n|}</math>   
+
sin(<math>\alpha</math>)= <math>\dfrac{|\vec u \circ \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}</math>   
 
Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen.  
 
Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen.  
 
[[Datei:gerade ebene 2.gif|miniatur]]
 
[[Datei:gerade ebene 2.gif|miniatur]]
Zeile 51: Zeile 54:
 
Beispielaufgabe:
 
Beispielaufgabe:
 
Geg.:<br />
 
Geg.:<br />
−
<math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math>
+
<math>g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}</math>
−
<math>E_{1}</math>:<math>2x_{1}+x_{2}-x_{3}</math>=12
+
  
 +
<math>E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12 </math>
 +
 
Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br />
 
Ges.: Schnittwinkel <math>\alpha</math><br />
  
 +
<math>sin(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}</math> 
  
−
sin(<math>\alpha</math>)=<math>\dfrac{|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}*\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}</math> = <math>\dfrac{3}{\sqrt{14}*\sqrt{6}}</math>  Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1°
+
Schnittwinkel <math>\alpha</math>= 19,1°
  
  
Zeile 66: Zeile 71:
  
 
Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h.
 
Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die <u>kleinste Entfernung zwischen den Punkten</u> von den Geraden g und h.
−
Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}</math>=<math>{\vec p}</math>+s*<math>{\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}</math>=<math>{\vec q}</math>+t*<math>{\vec v}</math> sind, dann gilt:
+
Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden <math>g:{\vec x}={\vec p}+s \cdot {\vec u}</math> bzw. <math>h:{\vec x}={\vec q}+t \cdot {\vec v}</math> sind, dann gilt:
−
<math>(1){\vec GH}*{\vec u}=0</math> und  
+
(1) <math>{\overrightarrow {GH}} \circ {\vec u}=0</math> und  
−
<math>(2){\vec GH}*{\vec v}=0</math>,
+
(2) <math>{\overrightarrow {GH}} \circ {\vec v}=0</math>,
−
dann ist <math>{|\vec GH|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h.
+
dann ist <math>{|\overrightarrow {GH}|}</math> der Abstand der beiden Geraden g und h.

Aktuelle Version vom 19. Februar 2017, 22:10 Uhr

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel, zwei mit \alpha(\alpha \le 90°)und zwei mit 180°-\alpha. Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist der Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Wenn \vec u und \vec v Richtungsvektoren sind, kann man den Schnittwinkel \alpha mit der folgenden Formel berechnen: cos(\alpha)= \dfrac{|\vec u \circ \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|} Es wird der cosinus verwendet, da man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren bildet und dazu die Längen der Richtungsvektoren verwendet.

Gerade gerade.gif

Beispielaufgabe: Gegeben:

g:{\vec x}= \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}
h:{\vec x}= \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}

Gesucht: Schnittwinkel \alpha

cos \alpha = \dfrac{\left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}
Schnittwinkel \alpha= 70,9°



Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel \alpha zwischen zwei Ebenen ist der Schnittwinkel zweier Geraden g und h, die in einer der beiden Ebenen liegen und orthogonal zu der Schnittgeraden s der Ebenen sind. Der Schnittwinkel \alpha wird mit der folgenden Formel berechnet, da dieser Winkel dem Winkel zwischen den Normalvektoren \vec n_1  und \vec n_2 der Ebene gleich ist.

cos(\alpha)= \dfrac{| \vec n_1 \circ \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}

Ebene ebne.gif

Beispielaufgabe: Geg.:

E_{1}: 2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12

E_{2}:\left[{\vec x}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=0

Ges.: Schnittwinkel \alpha

cos(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}}

Schnittwinkel \alpha= 42,4°



Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wenn man das Lot einer Geraden g auf die Ebene E fällt, erhält man in der Ebenen eine Gerade g'.Der Winkel der zwischen der Geraden g und g' gibt den Schnittwinkel \alpha der Geraden g und der Ebene E an. Der Winkel \beta zwischen dem Normalenvektor \vec n der Ebene E und dem Richtungsvektor \vec u der Geraden g ergänzt den Schnittwinkel \alpha zu 90°. sin(\alpha)= \dfrac{|\vec u \circ \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|} Es kommt ganz darauf an, was gegeben ist, hier bietet sich der sinus an, da man mit cosinus in diesem Fall den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtngsvektor r berechnen würde und dann müsste man noch -90° rechnen.

Gerade ebene 2.gif

Beispielaufgabe: Geg.:
g:{\vec x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}

E_{1}:2x_{1}+x_{2}-x_{3}=12

Ges.: Schnittwinkel \alpha

sin(\alpha)=\dfrac{ \left|\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \right|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}

Schnittwinkel \alpha= 19,1°



Abstand zwischen windschiefen Geraden

Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von den Geraden g und h. Wenn G bzw. H Punkte auf den Geraden g:{\vec x}={\vec p}+s \cdot {\vec u} bzw. h:{\vec x}={\vec q}+t \cdot {\vec v} sind, dann gilt: (1) {\overrightarrow {GH}} \circ {\vec u}=0 und (2) {\overrightarrow {GH}} \circ {\vec v}=0, dann ist {|\overrightarrow {GH}|} der Abstand der beiden Geraden g und h.

Von „http://fsg.zum.de/index.php?title=Winkelberechnungen_zwischen_Geraden_und_Ebenen&oldid=1697“