Gauß-Algorithmus

Wozu braucht man den Gauß-Algorithmus?

Der Gauß Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen beliebig vieler Variablen und beliebig vielen Gleichungen.

Lineare Gleichungssysteme können genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben.

1 - Wenn nur eine Lösung vorhanden ist, hat die Stufenform die Gestalt eines Dreiecks.
2 - Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn es eine oder mehrere Zeilen gibt, in denen nur Nullen stehen.
3 - Hat das lineare Gleichungssystem in einer Zeile auf der linken Seite nur Nullen stehen und auf der rechten Seite auf der gleichen Zeile eine Zahl ungleich Null ist, gibt es keine Lösung.

Um die Lösung leicht zu bestimmen werden die Gleichungssysteme in der sogenannten Stufenform (=Dreiecksform) angeordnet.

Anzuwenden ist er beispielsweise bei folgender Situation:

Gegeben sind die Funktionen:

Formt man diese nun zu einer Dreiecksgestalt um, trägt dies sehr zur Übersichtlichkeit bei.

$\begin{matrix} 1.&3a&+&2b&+&1c&=&6\\ 2.&&&2b&-&3c&=&11\\ 3.&&&&-&4c&=&20 \end{matrix}$

Noch übersichtlicher wird es wenn man die Gleichungen in eine Stufenmatrix schreibt. (näheres bei Lösen ohne GTR)

Nun kann man dieses Gleichungssystem nach und nach lösen.

Berechnung ohne GTR

Gegebenes Gleichungssystem:

$\begin{matrix}a&-&b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\\9a&+&3b&+&c&=&6\end{matrix}$

Ziel: Um die unbekannten Variablen herauszufinden, rechnen wir mit der Form einer Stufenmatrix. Ziel dabei ist es, in der ersten Zeile keine Null, in der zweiten Zeile an erster Stelle eine Null und in der dritten Zeile an den ersten zwei Stellen jeweils eine Null zu bekommen.

So sollte es am Ende aussehen:

a	b	c
1	-1	1	6
0	-6	3	21
0	0	-2	-6

Erlaubt sind:

1. Multiplikation/ Division einer Zeile mit einer Zahl, die nicht Null ist.

2. Vertauschen zweier Zeilen miteinander.

3. Zwei Zeilen miteinander/ voneinander addieren/ subtrahieren.

Beispiel:

Anwendung mit Hilfe des GTR

Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System lässt sich die Lösungsmenge eines LGS (Lineares Gleichungssystem) schnell bestimmen. Dazu gibt man die "erweiterte Koeffizientenmatrix" mithilfe des Matrix-Editors ein. Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu benötigt man den GTR:

Schritt 1:

2nd → Matrix → Edit:

Zahlen eingeben

2nd → Quit

2nd → Matrix → Math → rref(

2nd → Matrix → [A] → Enter

Jetzt kann man aus der Koeffizientenmatrix das Ergebnis direkt ablesen.

Anwendungsbeispiele

Kaffeemischung aus drei verschiedenen Kaffeesorten

30px   Aufgabe Eine Kaffeerösterei bietet drei verschiedene Kaffeemischungen an. "Mocca" besteht zu drei Teilen aus kolumbianischen Kaffee, zu einem Teil aus brasilianischen Kaffee und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 63€. "Barry" besteht zu zwei Teilen aus brasilianischen, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu zwei Teilen aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 66€. "The Dark One" besteht zu drei Teilen aus brasilianischenm, zu einem Teil aus kolumbianischen und zu einem Teil aus mexikanischen Kaffee. Sie kostet 67€. Jeder Sorte wird in 5kg Packungen verkauft. Wieviel kostet ein Kilogramm von dem Kaffee der einzelnen Ländern?

Lösung:

Marke	Brasilien	Kolumbien	Mexiko	Preis für 5kg
Mocca	1	3	1	63
Barry	2	1	2	66
The Dark One	3	1	1	67

Die Aufgabe wurde mit dem oben beschriebenen Lösungsweg gelöst.
Ein Kilogramm brasilianischen Kaffees kostet 13€.
Ein Kilogramm kolumbianischen Kaffees kostet 12€.
Ein Kilogramm mexikanischen Kaffees kostet 14€.

Steckbriefaufgabe

30px   Aufgabe Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit den Eigenschaften: Der Funktionsgraph geht durch die Punkte P(2/1) und Q(1/3). In P hat der Graph ein lokales Minimum, in Q wechselt er das Krümmungsverhalten.

Lösung:

Nebenbedingungen(entnehmbar aus der Aufgabenstellung):

1.	$f(2)=1$	(P)
2.	$f(1)=3$	(Q)
3.	$f'(2)=0$	(Extrempunkt bei P)
4.	$f''(1)=0$	(Wendepunkt bei Q)

Aufstellung der allgemeinen Funktionsgleichung:

$\begin{align} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c \\ f''(x)&=6ax+2b \end{align}$

Jede aufgestellte Nebenbedingung definiert eine Variable der Funktion.

$\begin{align} f(2)&=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d =1 \\ f(1)&=a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d =3 \\ f'(2)&=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c =0 \\ f''(1)&=6a \cdot 1+2b =0 \end{align}$

GTR → Matrix berechnen

4x5 Matrix:

$\begin{matrix} 1: &8a&+&4b&+&2c&+&1d&=&1 \\ 2: &1a&+&1b&+&1c&+&1d&=&3 \\ 3: &12a&+&4b&+&1c&+&0d&=&0 \\ 4: &6a&+&2b&+&0c&+&0d&=&0 \end{matrix}$

Fehlt hier nicht noch das Ergebnis für die Aufgabe? [Btm]