Mathekurs Bittermann

Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs

Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012:

1. Optimierungsaufgaben
2. Parameterfunktionen
3. Ortskurven
4. Gauß-Algorithmus und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben)
5. Ableitungen (Produkt- und Kettenregel)

Wochenaufgaben

Kürzester und längster Zaun

Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein.

1. Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann?
2. Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion $U=U(a)$ an.

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Innige Berührung zweier Funktionen

Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung.

Dieses Verhalten soll für die Funktionen $f(x)=3 \sqrt x -2$ und $g(x)=ax^3+bx+c$ im Punkt $P(4|y_P)$ eintreten.

1. Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann.
2. Ermitteln Sie die Gleichung für g(x).
3. Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall $0 \leq x \leq 7$. Hinweis: Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt.

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