Mathekurs Bittermann

Inhalte, Übungen und Aufgaben aus dem Kurs

Inhalte der dritten Klausur am 13.3.2012:

1. Optimierungsaufgaben
2. Parameterfunktionen
3. Ortskurven
4. Gauß-Algorithmus und seine Anwendungen (z.B. Steckbriefaufgaben)
5. Ableitungen (Produkt- und Kettenregel)

Inhalte der vierten Klausur am 12.6.2012:

1. Tutorium Blätter 20-23
2. Winkelfunktionen
3. Tangenten an Schaubilder (mit und ohne bekannten Berührpunkt)
4. Analytische Geometrie (Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen, zeichnen im Koordinatensystem)
5. Parameterfunktionen mit Ortskurven

Hinweis: Die Wochenaufgaben sind eine sehr gute Vorbereitung auf den Wahlteil der Klausur.

Wochenaufgaben

Kürzester und längster Zaun

Her Schmidt möchte auf seinem Grundstück zum Zwecke der Tierhaltung eine rechteckige Fläche von A = 100 m² einzäunen. Aufgrund der örtlichen Gegebenheiten kann jedoch keine Seite länger als 20 m sein.

1. Wie groß muss er die Rechteckseiten a und b wählen, damit er für den Zaun möglichst wenig Material verbraucht? Wie lang ist der Zaun dann?
2. Sein Sohn behauptet, wenn es einen kleinsten Umfang U_min für die Fläche gibt, gibt es auch einen größten. Ob er wohl Recht hat? Um seine Behauptung zu überprüfen, fertigt er schließlich eine grafische Darstellung der Funktion $U=U(a)$ an.

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Lösung:
A=100m²
x<20
y<20
U=2x+2y
A=x*y=100
x=100/y

Zielfunktion:
u(y)=2*(100/y)+2y=200/y+2y
u´(y)=-200/y²+2

u´(y)=0:
-200/y²+2=0
2=200/y² /*y² //2
y²=100
y₁=10
y₂=-10 (entfällt)

Für x=y=10 ist der Umfang minimal (Quadrat).

Innige Berührung zweier Funktionen

Wenn zwei Graphen einen gemeinsamen Berührpunkt haben, dann haben diese im Berührpunkt auch die gleiche Steigung. Stimmen auch die zweiten Ableitungen überein, dann schmiegen sie sich förmlich aneinander - man sagt auch, es kommt zu einer innigen Berührung.

Dieses Verhalten soll für die Funktionen $f(x)=3 \sqrt x -2$ und $g(x)=ax^3+bx+c$ im Punkt $P(4|y_P)$ eintreten.

1. Stellen Sie die zu überprüfenden Eigenschaften für die Funktionen f und g auf, mit denen man die "innige Berührung" mathematisch untersuchen kann.
2. Ermitteln Sie die Gleichung für g(x).
3. Skizzieren Sie beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem im Intervall $0 \leq x \leq 7$. Hinweis: Wählen Sie die Koordinatenachsen geschickt.

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Lösung:

$f(x) = g(x)<br /> f'(x) = g'(x) <br /> f''(x) = g''(x) <br /> P(4|y_P)$

Als erstes muss man f mit g gleichsetzten um a zu bestimmen, indem man jedes Vorhandene x mit 4 ersetzt. Hat man Nun a und x setzt man sie in die Gleichungen f'(x) und g'(x)ein und setzt diese erneut gleich. So bekommt man b und setzt jetzt auch a, b und x in f(x) und g(x) ein und setzt diese ebenfalls wieder gleich um so c heraus zu bekommen. Am Ende kann man die Gleichung für g(x) bestimmen.

Gezeiten

An der Südküste Borkums wurden am 13. Juni 2005 bei Flut um 3.47 Uhr ein Pegelhöchststand (Hochwasser) von 5,9 m und bei der anschließenden Ebbe um 9.42 Uhr ein Pegeltiefststand (Niedrigwasser) von 3,8 m gemessen (Wasserstand bezogen auf Pegelnull).
Modellieren Sie mit einer trigonometrischen Funktion f den Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit. Skizzieren Sie das Schaubild von f in dem angegebenen Zeitraum.

Welche Uhrzeit liefert das Modell für den zweiten Pegelhöchststand an diesem Tag?
Am 15. Juni wurde das erste Hochwasser um 5.17 Uhr mit einem Pegelstand von 5,7 m gemessen. Vergleichen Sie mit den Vorhersagen durch das Modell und bewerten Sie Ihr Ergebnis.

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Lösung:
bekannte Werte:
$\begin{matrix} \mbox{Pegelstand in m} & &\mbox{Zeit in Std.} \\ 5,9 & & 3,47 \\ 3,8 & &9,42 \end{matrix}$

Ideen: ${f'(0)= 0 }$ --> Hochpunkt; ${f'(355)= 0 }$ -->Tiefpunkt!

355 sind die Minuten der Differenz zwischen Ebbe und Flut (9.42 und 3.47 Uhr)

Nullpunkt festlegen: Ursprung bei Beginn der Cosinuskurve, denn weniger Variabeln auszurechnen!

Hochpunkt des Wasserstandes beginnt bei Ursprung der Cosinuskurve

zu berechnende Variabeln:

${a\cdot cos(b\cdot x)+e}$
${ f(0)= 5,9}$
${f(355)= 3,8}$

e: Pegelstand+ Differenz zwischen Hoch- und Tief-punkt --> ${ 3,8+ 1,05= 4,85 }$

a: 1,05

${ f(t)= 1,05\cdot \cos(b\cdot t)+4,85}$

Punkt einsetzen um b auszurechnen:

${f(3,8)= 1,05\cdot \cos b(355)+4,85}$

${-1= \cos(355\cdot b)}$

${b={\pi \over(355)} }$

Funktion in GTR eingeben: $f(t)= 1,05 \cdot \cos \left( {\pi \over 355} \cdot t \right) +4,85$

t _max 937 min = 15h 37 min

Flussbett

Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit
$f(x)={{20 x^2}\over {x^2+2500}}$ (alle Maße in Meter).
Aufgrund von Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich.
Im Punkt $P(150|f(150))$ des Ufers steht ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann.
Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel nicht mehr zusehen.
Wie tief ist der Fluss dann an seiner tiefsten Stelle höchstens?

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Lösung:

Man sucht den Berührpunkt:

Ableitung ( durch Anwendung der Quotientenregel)

$f'(x)= {(40 \cdot x\cdot x^2+2500)-( 20\cdot x^2)\cdot 2x))\over (x^2+2500)}$ = ${(40\cdot x^3 + 1000000x- 40 \cdot x^3)\over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)}$ = ${1000000x \over ( x^4+5000 \cdot x^2 +6250000)}$

$y= f'(x_0)\cdot ( x-x_0)+ f( x_0)$

Ableitung einsetzen und auf 0 setzen,um Tangentengleeichung zu erhalten:

$0= {(100000x_o)\over(x_0 ^4+5000 \cdot x_0 ^2 +6250000)} \cdot (150 \cdot x_0) + {( 20\cdot x_0 ^2)\over ( x_0 ^2 + 2500)}-23$

Funktion in GTR eingeben und Nullstellen berechnen:

$x_1 = 10,89$ ( entfällt da Tiefe des Flusses gefragt ist)

$x_2 = 72,02$ --> in Gleichung einsetzen um Tangentengleichung zu bekommen:

Tangentengleichung: $y_t = 0,122 \cdot (x- 72,02) + f( x_0)$

Sh.Sievers 22:06, 7. Mai 2012 (CEST)

Wegbeleuchtung

Zwei in gleicher Höhe h $(h \leq 5)$angebrachten Lampen sollen einen 10 m langen Abschnitt eines ebenen Spazierwegs beleuchten.

Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte M gilt:
$H(h)=100 \cdot {{\cos (\alpha)} \over {d^2}}$ (h,d in Meter).

In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell beleuchtet wird?

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Lösungsvorschlag:

Idee:

Die Zielfunktion ist von (h) abhängig
Nebenbedingungen: d und ${\cos ( \alpha)}$ müssen durch h ersetzt werden.

-> Mit Satz des Pythagoras nach d auflösen -> $d= \sqrt {5^2+h^2} -> d^2 = 5^2+h^2$
-> ${\cos ( \alpha)}= {h \over d}$ -> d einsetzen
-> ${\cos ( \alpha)}= {h \over \sqrt {5^2+h^2}}$

-> d und ${\cos ( \alpha)}$ in die Zielfunktion einsetzen

-> Mit GTR Maximum berechnen

-> Lösung: h = 3.54m

Die Lampen müssen in einer Höhe von 3.54m befestigt werden um den Weg möglichst hell zu beleuchten.

Supermarkt im Wohngebiet

In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen.

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Funktionen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen.

Hinweis: Die Grafik darf zur Bestimmung von Koordinaten benutzt werden. 1 LE entspricht 100 m.

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Hier könnte dein Lösungsvorschlag stehen ...